Co oznacza zapis \(A\,x=b\) i \([A\mid b]\)?

• \(A\) – macierz współczynników (tabela liczb przy niewiadomych),
• \(x\) – kolumna niewiadomych,
• \(b\) – kolumna prawych stron równań.

Macierz rozszerzona \([A\mid b]\) powstaje, gdy do \(A\) „dopisujemy” z prawej kolumnę \(b\); dzięki temu wykonujemy te same kroki jednocześnie na całym układzie.

Jakie kroki są dozwolone? (operacje na wierszach)

Wykorzystujemy tylko trzy operacje:

1. zamiana dwóch wierszy,
2. pomnożenie wiersza przez liczbę \( \ne 0 \),
3. dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę.

Te operacje nie zmieniają zbioru rozwiązań – prowadzą do układów równoważnych [2] .

Eliminacja Gaussa — przepis „krok po kroku”

1. Zapisz układ jako \([A\mid b]\).
2. Idź kolumna po kolumnie: jeśli u góry kolumny jest 0, zamień wiersze, aby była tam liczba \( \ne 0 \).
3. Wyzeruj elementy poniżej tej liczby, dodając odpowiednie wielokrotności wiersza wyżej do wierszy niższych.
4. Gdy masz postać schodkową (REF), policz niewiadome od dołu (podstawianie wsteczne).

Chcesz porządek „do końca”? Można też wyzerować liczby nad „pierwszymi” jedynkami – wtedy otrzymujesz zredukowaną postać schodkową (RREF) [2] .

Skąd wiadomo, czy rozwiązań jest 0, 1 czy nieskończenie wiele?

Korzystamy z twierdzenia Rouché–Capellego (Kroneckera–Capellego): porównujemy rząd (rank) macierzy \(A\) i \([A\mid b]\) [3] .

• rzędy różne → brak rozwiązań,
• rzędy równe i równe liczbie niewiadomych → dokładnie jedno rozwiązanie,
• rzędy równe, ale mniejsze od liczby niewiadomych → nieskończenie wiele rozwiązań.

Krótka „legenda” pojęć

• Rząd (rank) macierzy – liczba niezależnych wierszy/kolumn; w praktyce równa liczbie niezerowych wierszy w postaci schodkowej [2] .
• Postać schodkowa (REF) – w kolejnych wierszach „pierwsze” niezerowe elementy pojawiają się coraz dalej w prawo, a zera są pod nimi [2] .
• Zredukowana postać schodkowa (RREF) – jak wyżej, ale „pierwsze” elementy są równe 1 i w ich kolumnach są same zera (również nad nimi) [2] .

Przykład macierzy rozszerzonej (ilustracja zapisu, bez rozwiązywania)

\( A=\begin{bmatrix}1&2\\[2pt]3&8\end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix}5\\[2pt]17\end{bmatrix},\quad [A\mid b]=\left[\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 3&8&17 \end{array}\right] \).