Powrót

Definicja macierzy schodkowej

Mówimy, że macierz A ∈ Mm×n(ℝ) jest w postaci schodkowej, jeżeli spełnia warunki: [1]

  • każdy wiersz zerowy (składający się wyłącznie z samych zer) znajduje się poniżej każdego wiersza niezerowego,
  • w każdym wierszu pierwszy (licząc od lewej) niezerowy element występuje w kolumnie znajdującej się po prawej stronie w stosunku do pierwszego niezerowego elementu wiersza poprzedniego.

Jest to standardowa forma ułatwiająca rozwiązywanie układów równań, pozwalająca na zastosowanie podstawienia wstecznego [1] .

Przykładowe macierze schodkowe

1 2
0 1
5 -1 0 11
0 -5 7 0
0 0 0 3
1 0 2
0 1 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 2 4 5
0 1 5 3 2
0 0 1 3 5
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1
5 4 1 0 6 5 6
0 0 4 1 5 4 3
0 0 0 3 6 5 4
0 0 0 0 1 0 9
0 0 0 0 0 0 2

Przykłady macierzy, które nie są zapisane w postaci schodkowej

1 0
2 1
0 2 3
0 0 1
1 0 0
0 1 2
0 0 0
0 3 4
5 8 -3 -2
0 0 0 1
0 0 1 3
1 0 2
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
Fakt

Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej zredukowanej [1] .

Powyższy fakt jest niezwykle ważny, ponieważ dzięki niemu możemy rozwiązywać dowolnie skomplikowane układy równań liniowych. Wystarczy sprowadzić do postaci schodkowej zredukowanej macierz odpowiadającą takiemu układowi, a następnie odczytać z niej rozwiązanie.

Przykłady macierzy zapisanych w zredukowanej postaci schodkowej

1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 3
0 0 1 5
1 0 0 0 0
0 0 1 0 4
0 0 0 0 0
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
Przykłady sprowadzania macierzy do postaci macierzy schodkowej